Описание парадокса
Быстроногий Ахилл хочет поймать черепаху, которая находится на расстоянии 1 км от него. К тому времени, когда Ахилл добегает до того места, где первоначально находилась черепаха, та успевает уползти вперед на 10 м. За то время, которое требуется Ахиллу, чтобы пробежать эти 10 м, черепаха снова успевает уползти на какое-то расстояние. Черепаха: «Где тебе догнать меня, старина! Каждый раз, когда ты добежишь до того места, где я была, я успею уползти на какое-то расстояние вперед, хоть на толщину волоса!»
То есть какое бы расстояние ни оставалось между Ахиллом и черепахой, на преодоление этого расстояния, разумеется, потребуется некоторое время, а за это время черепаха продвинется еще вперед. В этой логике нет изъяна, но она самым очевидным образом противоречит нашему опыту.
Психопатический метод «решения»
Очень развит психопатический метод «решения» проблемы, причем прибегают к нему не только конченые эзотерики, но и ученые. Вот, например, «решение», предложенное одним академиком (!): «…на теоретическом уровне проблемы ограниченности, неограниченности, конечности, бесконечности, исчерпаемости, неисчерпаемости являются системными вопросами, и ответ на них на этом уровне не может носить абсолютного характера даже при наличии (абсолютного) ответа на уровне феноменологическом. Время необходимо рассматривать как совокупность разноуровневых потоков времени (с разной длиной волны, разными корпускулами), при этом движение точки тоже рассматривается как многоуровневое: разные ее аспекты перемещаются в разных потоках времени. Это позволяет снять парадоксальность апорий Зенона на пространственном уровне, перемещая ее на более высокие».
Как похоже на то, что пишут эзотерики, когда не могут (и не хотят) разбираться в своих восприятиях!
После того, как все это написано, автор формирует в себя уверенность в том, что он решил этот вопрос. А если кто-то не согласен — пусть попробует что-то возразить на сказанное им! А как возразишь, когда там просто бред? Возражать можно лишь на нечто осмысленное.
Метод чистого вытеснения
Самый распространенный среди думающих людей.
Иногда человек просто… вытесняет наличие парадокса! И считает это решением — это распространенный способ. Например пишут так: «… этот парадокс можно сформулировать более точно так: «Ахиллес никогда не догонит черепаху за время, меньшее двух секунд после начала состязания»! И уже не сама апория, а математические выкладки подскажут нам, что ровно через две секунды Ахиллес окажется в той же точке, что и черепаха. И никакого противоречия с опытом! Парадоксальность снята, противоречия в теории нет. Евклидова геометрия и классическая механика находятся вне зоны критики со стороны апорий.»
То есть автор попросту «забыл» о том, что проблема-то возникает тогда, когда мы с одной стороны делаем то, что сделал он — то есть просто делим расстояние на скорость и получаем время, за которое Ахилл догонит черепаху. А с другой стороны мы следуем столь же неопровержимой логике, столь же подтверждаемой на опыте, что для преодоления любого расстояния требуется время. Эта часть парадокса словно забыта, и возникает «решение». Довольно показательно, что вслед своему решению автор (тоже академик) забивает гвоздь бравурными гимнами — эти ПЭ должны помочь читателю вытеснить то, что проблема нерешена.
Метод посылания на толстый математический ххх
Самые умные ученые используют «доказательства» такого рода: «Многие специалисты согласились со знаменитым анализом парадоксов Зенона, данным Бертраном Расселом. По мнению Рассела, парадоксы Зенона не были удовлетворительно решены вплоть до появления теории бесконечных множеств Георга Кантора. Теория Кантора позволяет рассматривать бесконечные множества (будь то множества точек на прямой или мгновений времени) не как набор изолированных индивидуальных точек и событий, а как нечто целое. Суть парадоксов Зенона и состоит как раз в том, что ни пространственные отрезки, ни временные промежутки недопустимо рассматривать как состоящие из бесконечно большого числа дискретных членов, изолированных друг от друга, как следы на снегу. Решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств, в которой наши интуитивные представления об отдельных точках и индивидуальных событиях объединены в систему — последовательную теорию бесконечных множеств.»
Здесь делается простой ход: хочешь понять «решение»? Иди в университет на математический факультет. Естественно, что многие люди думают: «ну, естественно, математика чертовски сложная наука, мне ее не осилить за всю жизнь, но математики, видимо, знают, что говорят, ведь математика — точная наука, и созданные с применением математики приборы работают».
Интересно, что те, кто окончил математические и физические факультеты, думают так: «да, это точно там можно все понять, но я-то учил все это поверхностно, чтобы экзамены сдать, и потом у нас был краткий курс, но те чистые математики, которые всю жизнь свою посвятили матанализу, теории функций и прочему, вот они-то уж конечно понимают, что этот парадокс как-то там решается».
Громкие слова про Рассела, Кантора, «многих специалистов» гипнотизируют даже самих математиков не хуже, чем домохозяек.
Между тем, математика — очень условно «точная наука», так как базируется на догмах. Да, приборы работают. Телевизор показывает, компьютер пиндюрит вовсю. Боле того, с помощью математических методов можно предсказать открытие новой планеты (и ее находят), новой элементарной частицы (и ее находят) и т.п. Но вот ЧТО ИМЕННО из этого следует? Это большой вопрос. Ведь наше общество, одним из кирпичиков в фундаменте которого является концепция о том, что старших надо уважать, что НЭ невозможно не испытывать — оно тоже живет, развивается, жиреет, технологии вон какие. Но что из этого следует?
Если взять как догму, что «старших надо уважать», отсюда уже несложно вывести, что маме надо почаще звонить и чаще ее слушаться и т.д. В математике — то же самое. Берется некая догма (причем иногда в этом отдается отчет, и тогда такую догму называют «аксиомой», но чаще всего в этом отчета и не отдается!), из которой впоследствии делаются более или менее непротиворечивые выводы.
Решение проблемы с парадоксом
(Обрати внимание — параграф называется не «решение парадокса», а «решение проблемы с парадоксом»)
На мой взгляд, решение проблемы с парадоксом крайне просто. Во-первых, необходимо признать, что Ахилл несомненно догонит и обгонит черепаху — это подтверждается и нашим повседневным опытом (ведь я могу обогнать черепаху), и той логикой, которая выводится из этого опыта — если умножить скорость Ахилла на необходимое время, то получившееся пройденное им расстояние будет больше, чем необходимо для того, чтобы догнать черепаху. Во-вторых, с той же уверенностью необходимо признать, что логика, согласно которой он никогда ее не догонит, совершенно верна, и также подтверждается нашим повседневным опытом, ведь в самом деле — преодоление любого расстояния требует некоторого времени. Отсюда — элементарный вывод: пространство не является совокупностью бесконечно малых частичек. Чем именно оно является? На этот вопрос вообще нет ответа и быть не может. Мы можем лишь сказать, что использование тех или иных представлений о пространстве и времени позволяют иногда нам предсказывать результаты экспериментов, создавать работающие приборы и т.д. Но у каждого представления есть свои пределы, переходя которые мы перестаем получать непротиворечивые результаты. Вот и все.
То есть пока Ахилла и черепаху (или их проекции) разделяет значительное расстояние (километр, метр, миллиметр), противоречий нет, парадокса нет. Но как только расстояние между ними (или их проекциями) сократится до так называемых квантовых величин, то логика бесконечного деления пространства уже не может быть применимой, и их дальнейшее движение необходимо уже рассматривать с позиций квантовой теории, так как мы начинаем рассматривать их перемещение на квантовые расстояния.
Вроде бы, это вполне ясно, и многие физики так и скажут в ответ на вопрос «что такое электрон» — «мы не знаем, что такое электрон, но у нас есть совокупность моделей, применение которых позволяет строить предположения, предсказывать результаты опытов, строить работающие приборы». Но перенести ту же ясность на нашу с вами обыденную жизнь, на наше с вами вот это такое обыденное пространство и время — этого как правило не получается. И свидетельством этому как раз и является то, что на протяжении тысяч (!!) лет толпы ученых так и не пришли к вот такому ясному решению: оба способа рассуждать верны в том смысле, что применяя их в разных областях мы получаем устраивающие нас результаты, тем не менее пространство не является совокупностью мелких частичек пространства, а вопрос «чем же оно является» попросту лишен смысла — на него невозможно ответить, не прибегнув к очередной модели, у которой опять таки обнаружатся свои границы применимости.
Требуется некоторое усилие искренности, и видимо — какое-то огромное усилие, чтобы изменить свою механическую уверенность в том, что пространство и время — что-то простое и ясное, и сменить ее на ясность в том, что это нечто таинственное. Желание довольства, обыденности перевешивает даже в случае воображаемого «чистого мышления», не говоря уже о том, что чем в большей степени человек считает себя ученым, умным, математиком, физиком, тем в большей степени он приходит в бешенство от того, что не может дать вразумительного объяснения, в то время как все остальные вроде как все «понимают». Круговая порука самообмана — обычное дело среди людей.
Последствия
Интересно, что Зенон, найдя такое противоречие, мог бы легко сделать вывод о том, что фактически он доказал, что пространство не является бесконечной совокупностью бесконечно малых частичек. Идея Кантора о том, что бесконечная сумма бесконечно малых может являться конечным числом (что якобы решает парадокс Зенона), не является «решением» парадокса, так как «решить» его вообще нельзя — тут просто нечего решать. Просто Кантор сказал — давайте «преодолеем» парадокс тем, что просто возьмем и докажем — бесконечная сумма бесконечно малых может являться конечным числом.
И доказать это совсем несложно — если взять 10 минут, за которые по расчетам скоростей Ахилл должен догнать черепаху, и разделить вторую половину пополам, а потом еще пополам и т.д. до тех пор, пока Ахилл не приблизится к черепахе бесконечно близко, то мы получим бесконечное число интервалов времени, каждый из которых короче предыдущего в 2 раза. Но если их сложить, то в сумме получатся те же исходные 10 минут. Это показывает, что суммы бесконечного количества величин могут быть конечны. Правда, при этом необходимо добавить, что сам математический аппарат суммирования бесконечных рядов допускает некоторые вольности со словом «бесконечность», без которых мы и не смогли бы никак получить этот результат. То есть в данном случае получается все наоборот — исходя из того, что мы точно уверены в том, что Ахилл догонит черепаху, мы и вводим в теорию бесконечных рядов (зачастую не отдавая себе в этом отчета) те аксиомы, которые и позволяют нам в итоге вывести то, что бесконечное сложение бесконечного ряда даст конечное число.
И такого рода «доказательство» никак не влияет на логику о том, что для преодоления определенного пространства требуется определенное время… На эту логику вообще никак, ничем повлиять нельзя, потому что она выражает наш несомненный опыт. То есть «доказательство» Кантора — все та же уловка вытеснения.
Парадокс Зенона доказывает, что гипотеза, согласно которой пространство является совокупностью бесконечно малых величин, ограничена в области своего применения, т.е. пространство не является такой совокупностью. Значит — вполне вероятно — что появится другая вполне обоснованная и рабочая теория, что пространство является совокупностью конечного числа частичек конечного размера, но сам характер взаимодействия этих частичек (вернее теории, описывающей это взаимодействие) будет чем-то в высшей степени необычным. Именно таковой и стала квантовая теория вкупе с теорией относительности, где с одной стороны размер элементарной частицы конечен, а с другой стороны в этой теории появились такие «чудеса», как квантовые скачки, принцип неопределенности, постоянная Планка, неизменность скорости света и пр. И согласно квантовой теории парадокс Зенона теряет свой смысл, так как черепаха не может продвинуться на бесконечно малое расстояние в силу того, что оно попросту отсутствует, как и отсутствует бесконечно малое количество энергии — в квантовой теории есть квант энергии, есть квант пространства, и части этого кванта не существует. Разумеется, это не означает, что мы не будем вынуждены придумать затем вслед новую теорию, которая будет устранять противоречия квантовой — так и произошло, и теперь есть теория кварков. А потом появилась теория суперструн. А потом появятся еще новые теории, которые будет устранять противоречия предыдущих, но тем не менее ответ на вопрос «что такое пространство, время, энергия и прочее» будет всегда одним и тем же — это неизвестно. Известно лишь, что оно не тождественно тем представлениям, которые мы используем, чтобы предсказывать новые открытия и строить работающие приборы.
Я считаю, что этот пример с парадоксом Зенона может облегчить достижение ясности в том, что описание мира, модель мира не тождественна самому этому миру. Когда ученый говорит «есть такая модель атома, что электрон крутится вокруг ядра», он, не отдавая себе в этом отчета, продолжает все-таки верить в то, что там что-то вокруг чего-то вертится.
Модификации
Можно придумать сколько угодно модификаций данного парадокса. Например такой: «поскольку летящая стрела в каждый момент времени покоится в определенной точке пространства, то она покоится все время, иными словами, она неподвижна, значит движения нет». Верно то, что стрела летит. Верно и то, что в каждый момент времени она находится в определенной точке пространства — зная ее скорость и время ее полета мы можем рассчитать эту точку. Значит — снова непреодолимое противоречие двух… МОДЕЛЕЙ. Отсюда вывод — пространство — это не то, что состоит из неких «точек», несмотря на то, что модель «точек пространства» очень удобна и функциональна. То же можно сказать и о времени = время — это не то, что состоит из «точек времени».
Любопытный вопрос
Мог ли Зенон, поразмыслив над своим парадоксом и добившись ясности в причинах его существования, предложить — в каком направлении может двинуться наука, чтобы те новые модели, которыми она будет оперировать, позволили бы обойти этот парадокс? Ведь если мы делаем вывод, например, что пространство не является бесконечной совокупностью бесконечно малых «точек», значит может быть в будущем в результате последующего развития технологий и получения новых экспериментальных данных возникнет такая модель, в которой существует минимальный квант пространства. Но «просто минимальный» квант не может быть составной частью новой, более совершенной модели, так как мы немедленно столкнемся с противоречиями в уже существующих логиках, которые ежедневно подтверждаются нашим опытом. Значит — должно быть попутно введено и такое необычное взаимодействие между ними, которое позволило бы преодолеть это противоречие. И ведь так и произошло — возникла квантовая теория и теория относительности с их квантами энергии, постоянной Планка, постоянством скорости света, принципом неопределенности, преобразованием Лоренца и всеми прочими деталями этих моделей, которые в итоге и позволили, с одной стороны, объяснить новые, необъяснимые ранее явления (начиная с фотоэффекта), а с другой стороны так состыковаться со старыми моделями, чтобы каждой нашлось свое место, своя ниша в общей картине мира.
Но нам сейчас трудно, да наверное просто невозможно абстрагироваться от всего того, что мы уже знаем о квантовой, кварковой, струнной теории вещества, поэтому этот мысленный эксперимент не может быть чистым и не так интересен. Гораздо интереснее другое — не можем ли мы взять существующее и поныне непреодолимое противоречие в каких-то моделях, и попробовать предположить — какие именно открытия будут совершены в будущем, которые приведут к созданию таких представлений, которые помогли бы избежать этого противоречия? И это сделать мы можем.