Существует понятие «сложной функции». Это может звучать грозно, но на самом деле все очень просто – особенно, если ты внимательно прочитала предыдущий параграф.
Представим себе, что у выражена как функция z:
y = φ (z)
Но z – не независимая переменная, а в свою очередь зависит от третьей переменной х, которая и является единственной независимой из этих трех!:
z = ψ (x)
Совсем несложно представить пример сложной функции. Например, мы знаем, что чем больше вес собачьего щенка, тем больше ему требуется пищи ежедневно. Допустим, я уезжаю из мордологова на месяц и хочу дать поручение моей служащей, чтобы она давала щенкам еду, пропорциональную их весу. Но – проблема – весы сломались, зато я точно знаю день рождения каждого щенка и, таким образом, знаю их возраст. Мне также известно, что вес щенка в среднем хорошо высчитывается по специальной формуле для этой породы. Эта формула связывает его возраст в неделях и его вес. И вот мы получили пример сложной функции:
«количество еды» = φ («вес щенка»)
«вес щенка» = ψ («возраст щенка»)
В итоге, зная возраст щенка, совсем несложно вычислить требуемое для него количество еды.
Отсюда хорошо видно, что «количество еды» зависит от «возраста щенка». Переменная «вес щенка» называется «промежуточной переменной».
Легко доказать, что из y = φ (z) и z = ψ (x) следует, что y = f (х). Хоть это и кажется самоочевидным, докажем это строго математически, то есть – используя аналитические выражения. Согласно определению функции, из второго уравнения следует, что каждому значению х соответствует одно или несколько определенных значений z , правильно? А из первого уравнения следует, что каждому из этих значений z соответствует одно или несколько определенных значений y. Вот в итоге и выходит, что каждому значению х соответствует одно или несколько определенных значений y. А это и значит, что y = f (х). Можно эту запись сделать и так:
y = φ [ψ (x)]
Введем еще один термин. Переменная величина, по значениям которой могут быть определены все возможные значения функции, называется «аргументом функции». Из вышеприведенного примера ясно, что аргумент функции может быть как независимой переменной, так и промежуточной переменной, которая сама является функцией независимой переменной.
Функция y = φ [ψ (x)] есть сложная функция переменной x.
Например, функция y = ( sin x )2 — это пример сложной функции x, так как y – это квадратичная функция от аргумента, который, в свою очередь, является некой особой функцией от независимой переменной x. Если промежуточную переменную мы обозначим тут буквой z , то получим:
y = z2 , z = sin x
Цепь функций, с помощью которой образуется сложная функция, может быть сколь угодно длинной, и состоять из сколь угодно большого количества звеньев, поэтому часто оказывается удобным расщеплять сложную функцию на простые составляющие.
Осталось в этом параграфе ввести еще один термин: Основными элементарными функциями являются следующие:
1) степенная функция: y = хn , где n – действительное число
2) показательная функция: y = ах , где а – любое положительное число, отличное от 1.
3) логарифмическая функция: y = logаx , где основание логарифмов а – положительное число, отличное от 1.
4) тригонометрические функции: у = sin x , у = cos x , у = tg x , а также реже употребляемые: у = sec x , у = cosec x , у = ctg x
5) обратные тригонометрические функции: у = arcsin x , у = arccos x , у = arctg x , а также у = arcsec x , у = arccosec x , у = arcctg x
Эти функции будут рассмотрены позже, а пока можно просто сказать, что основные элементарные функции служат как бы кирпичиками, из которых строятся другие функции, в частности, так называемые «элементарные функции»:
Элементарной функцией называется функция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленных из основных элементарных функций и постоянных величин при помощи конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и конечного числа операций взятия функции от функции.
Может показаться, что терминов слишком много, но это лишь на первый взгляд. Язык математики – это именно язык, и он требует достаточно количества выразительных средств, с помощью которых ты можешь высказывать свои мысли. Поначалу может быть трудно – так же трудно, как трудно оперировать новыми словами иностранного языка. Но достаточно немного практики, и ты увидишь, как этот кажущийся избыток терминов превращается в необходимое изобилие, так что в результате ты можешь без труда, точно, последовательно и непротиворечиво высказать свою идею, и твой собеседник поймет тебя в точности так, как тебе этого и хотелось. Иногда тебе придется возвращаться к определениям, перечитывать их заново, может быть даже выписать куда-нибудь себе в словарик – но по мере того, как ты будешь пользоваться ими, они прекрасно запомнятся и улягутся на свои места.
Вообще осталось не так уж долго до того момента, когда начнутся всеми нелюбимые, кажется, пределы и интегралы, но на самом деле это очень интересно.