Предел

Рассмотрим некоторую функцию целочисленного аргумента: u = f(n)  или, что то же самое, рассмотрим последовательность u₁ = f(1) ,  u₂ = f(2) …  u_n = f(n)

Может случиться так, что при неограниченном возрастании аргумента n значение функции u неограниченно приближаются к некоторому постоянному числу А, то есть начиная с достаточно большого n, разность между А и u (по абсолютной величине) становится и остается меньше любого заранее заданного числа. В этом случае говорят, что А есть предел функции u = f(n)  .

Запишем то же самое в более строгом виде:

Число А называется пределом функции u = f(n) или последовательности u₁, u₂ … u_n, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного числа ε (читается как «эпсилон») можно указать такое значение n (пусть оно будет равно N), что при всех n > N будет: |A— f(n)| < ε

(Вертикальные палочки означают «модуль», то есть абсолютное значение того или иного числа, независимо от того – положительное оно или отрицательное. Например, модуль трех равен трем, а модуль «минус пяти» равен пяти).

Если А есть предел f(n) , то говорят, что функция f(n)  или последовательность u_n стремится к А при n, стремящимся к бесконечности. Записывают это так:

(Читается это так: «лимит эф от эн при эн, стремящимся к бесконечности, равен а»).

Такое определение предела вполне интуитивно понятно. В самом деле, допустим, что кому-то пришло в голову придумать какое-то очень малое число. И вот оказывается, что в имеющейся у нас последовательности чисел есть такое число, начиная с которого все числа, являющиеся последующими членами последовательности, будут отстоять от некоего числа А на расстояние, меньшее, чем это очень малое число. Но этого показалось мало, и кто-то взял теперь уже не просто очень малое, а очень-очень малое число. И все равно – оказывается, что начиная с какого-то еще более далекого члена этой последовательности все последующие числа отстают от того же числа А на расстояние, меньшее, чем это супер-сверх-малое число. Или, говоря другими словами, они приблизились к числу А на расстояние, меньшее чем даже это очень малое число, и какое бы невероятно малое число мы бы ни взяли, всегда находится такой член последовательности, начиная с которого все последующие члены будут отстоять от числа А на расстояние, меньшее, чем это невероятно малое число. Вот тогда мы число А и называем пределом последовательности.

Рассмотрим простой пример – возьмем функцию:

или последовательность: u₁=1/2, u₂=2/3, u₃=3/4, … u_n=n/(n+1). Легко доказать, что эта последовательность стремится к пределу, равному единице.

Интуитивно понятно, что пределом этой последовательности скорее всего будет единица. Так что в качестве исходного шага просто допустим, что пределом этой последовательности и в самом деле является единица, и посмотрим – найдем ли мы какое-то противоречие, или наоборот – сможем получить верное утверждение. Чему равна разница между единицей и любым элементом последовательности?

1 — n/(n+1)

Произведем вычитание по правилам вычитания и сложения дробей (то есть приведем их сначала к общему знаменателю):

(n+1)/(n+1)   —   n/(n+1) = (n+1-n)/(n+1) = 1/(n+1)

Таким образом, для того, чтобы эта разница была меньше, чем любое сверхмалое наперед заданное число ε, необходимо, чтобы выполнялось неравенство: 1/(n+1) < ε

А оно будет выполняться при всех n > 1/ε – 1

Так что стоит только кому-нибудь придумать какое-нибудь очень малое число ε, например, одна миллиардная, мы сразу можем сказать, что начиная с миллиардного члена нашей последовательности разница между единицей и значением этого миллиардного члена будет меньше, чем одна миллиардная. Это и доказывает, что единица является пределом этой последовательности.

Вот так интуитивно угадать верное значение предела последовательности бывает обычно трудно, поэтому для решения задач по поиску пределов приходится применять разные ухищрения.

Интересно, что поскольку в неравенство |A—f(n)| < ε  входит именно модуль разности, то есть абсолютная ее величина, то функция может приближаться к своему пределу не только становясь все больше и больше, или все меньше и меньше, но и колеблясь!, то есть становясь то больше своего предела, то меньше его. Представим это графически.

Будем изображать значения функции u_n точками числовой оси. Отметим точку, изображающую число А – предел u_n при n→∞. В силу определения предела, расстояние переменной точки u_n от точки А будет, начиная с некоторого n, меньше, чем любое наперед заданное положительное число ε. Говоря другими словами, точка u_n, начиная с некоторого ее положения, должна перемещаться лишь внутри интервала длиной в 2ε, в центре которого находится точка А, то есть внутри ε-окрестности точки А. Таким образом, говоря геометрическим языком, точка А является пределом переменной точки u_n, если начиная с некоторого n точка u_n не выходит из заданной как угодно малой ε-окрестности точки А.

С увеличением аргумента n, точки u_n как бы сгущаются вокруг единственной точки, а именно точки А.

Рассмотрим такую необычную функцию, как… постоянное число! Как мы уже знаем, чтобы функция была определена, мы должны поставить в соответствие каждому значению аргумента определенное (или определенные) значения функции, вот мы и указываем такое соответствие – каким бы ни был аргумент, функция всегда будет равна какому-то числу А. (Легко увидеть, что графиком такой функции будет прямая линия, параллельная оси 0Х и пересекающая ось 0У в точке А).

Есть ли предел у такой функции? Согласно определению предела – да, есть, и он равен А. В самом деле, чем равна разница между любым значением этой функции и числом А? А минус А равно нулю, а ноль заведомо меньше любого наперед заданного какого угодно маленького числа.

Легко привести пример последовательности, которая не стремится ни к какому пределу:

1/2 ,  1/2 ,  3/4 , 1/4 , 7/8 , 1/8 , 15/16 , 1/16 и т.д. При достаточно большом нечетном n соответствующее значение u_n будет находиться как угодно близко к единице, а при четном – к нулю, и тем не менее эта последовательность не стремится к пределу, поскольку точки сгущаются не возле одной, а возле двух точек, и с изменением n точка u_n перескакивает от точек, близких к 1, к точкам, близких к 0.

Ну и более простой пример – ясно, что последовательность 1, 2, 3, 4, 5… уж никак не стремится ни к какому пределу, так как точки нигде не сгущаются.

Разобравшись с понятием предела функции целочисленного аргумента (или, что то же самое, с понятием предела числовой последовательности), можно пойти дальше – к более интересному — к пределу функции непрерывного аргумента. В общем, если до сих пор всё было понятно, то и дальше будет понятно.

Пусть независимая переменная х стремится (то есть неограниченно приближается) к некоторому числу х₀ (это мы будем записывать так: х→х₀). Что означает эта фраза – «переменная стремится к числу»? Это означает, что мы последовательно придаем переменной х любые значения, как угодно мало отличающиеся от х₀, но при этом не равные х₀, и при этом каждое последующее значение х всё меньше и меньше отличается от х₀.

Рассмотрим соответствующие значения f(х). Может случиться так, что и значения f(х) будут неограниченно приближаться к некоему числу А. То есть – для всех х, достаточно близких к х₀, разность (по абсолютной величине) между А и f(х) будет меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа. Если это условие выполняется, то и говорят, что А есть предел функции у=f(х) при х→х₀.

Дадим теперь определение: число А называется пределом функции у=f(х) при х→х₀, если для каждого положительного числа ε, каким бы малым оно ни было, можно указать такое положительное число δ (читается как «дэльта»), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих неравенству: |х₀ — х| < δ, справедливо также неравенство: |A— f(х)| < ε

Записывают это так:

и говорят еще, что f(х) стремится к А при х→х₀.

В общем – ничего сложного, по-моему.

Можно определение переформулировать немного по-другому: у=f(х) стремится к А при х, стремящимся к х₀, если для всех точек х(х ≠ х₀), содержащихся в достаточно малой δ-окрестности точки х=х₀, значения функции у=f(х) содержатся в как угодно малой ε-окрестности точки у=А.

То есть какое бы сверхмалое положительное число ε мы бы ни придумали, всегда найдется такое положительное число δ, что для всех точек х, лежащих не далее чем δ от х₀, будет справедливо неравенство |A— f(х)| < ε

Если х→х₀, то х₀ будем называть «предельной» точкой для х.

Важно обратить внимание на то, что в определении предела не требуется, чтобы функция была задана в предельной точке х₀.

Теперь можно определить понятие предела функции при х, стремящимся к бесконечности (это записывают как х→∞).

Что вообще имеется в виду, когда говорится, что х стремится к бесконечности? Только то, что х неограниченно возрастает (по абсолютной величине), то есть х принимает любые значения, бОльшие (по абсолютной величине) какого угодно положительного числа.

Может так случиться, что по мере увеличения |х| значения f(х) неограниченно приближаются к числу А. При этом число А называется пределом f(х) при х→∞. О функции говорят, что она стремится к А при х→∞.

Теперь дадим точное определение:

Число А называется пределом функции у=f(х) при х→∞, если для каждого произвольно малого положительного числа ε можно указать такое положительное число N, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > N, справедливо неравенство |A— f(х)| < ε