Мы прекрасно знаем, что математика обладает таким свойством, что результат вычислений всегда один и тот же независимо от того, сколько раз эти самые вычисления проводятся. Сейчас я не рассматриваю ту разницу в вычислениях, которая возникает в связи с тем, что сам процесс вычислений подразумевает ту или иную погрешность. Я говорю о том, что 2+2=4. Всегда. И мы считаем это разумным и естественным. Кажется безумной сама идея о том, что я мог бы создать такую математику, где сложение 2+2 каждый раз дает разный результат, или такую, где результат сложения 2+2 пробегает некий ряд значений.
Но почему такая идея кажется безумной?
Первый аргумент, который сводится к прикладным приложениям, мы отметем сразу. Он состоит в том, что если 2+2 каждый раз будет давать разный результат, то мы не сможем использовать такую математику в наших прикладных повседневных задачах – как экономических, так и технических и всех остальных. Тут надо понять, что математика хоть исторически и берет свое начало именно как инструмент для решения прикладных задач, но давным-давно уже освободилась от этих утилитарных оков и шагнула очень далеко вперед. Современная так называемая чистая математика, по сути, к прикладным задачам уже не имеет вообще никакого отношения. Однако довольно любопытно то, что множество таких абстрактных математических систем совершенно неожиданно оказались вполне себе полезными при решении практических задач и при построении теорий реального физического мира. Можно привести пару общеизвестных примеров. Например – это комплексное число. Совершенно ведь абсурдная вещь: число, которое, будучи возведено в квадрат, дает отрицательную величину. Это противоречит всем предыдущим определениям, это несовместно с нашим здравым смыслом. Надо сказать, что даже само по себе отрицательное число уже противоречит здравому смыслу, потому что минус одно яблоко существовать не может. Но ни без комплексных, ни без отрицательных чисел современная математика, а также физика и техника обойтись уже не в состоянии. Второй пример – бесконечность множества параллельных прямых, которые могут быть проведены через одни и те же две точки. Лобачевского, который придумал такую математику, буквально затравили и сжили со свету. А оказалось, что современная теория пространства-времени описывает наш мир именно таким, в котором только эта геометрия и работает. Совершенно абстрактная ветвь теории групп неожиданно оказалась очень даже предметной, и современная теория элементарных частиц без нее существовать не может.
Это все общеизвестно.
И все же есть такие догмы, которые кажутся настолько непоколебимыми, что мысль даже не идет в направлении преодоления и этих ограничений, и указанная в начале статьи идея относится как раз к тем, которые любой человек отвергнет и сочтет бессмысленным даже думать об этом.
Но все же я предлагаю задаться вопросом: может ли существовать такая математика, в которой результат любых операций, включая простейшую 2+2, не будет являться одним и тем же при повторении вычислений?
Первое, что хочется сказать – да, такое наверное возможно, если мы определим то или иное правило, согласно которому разные результаты будут возникать.
Но это не тот ответ, который интересен, поскольку задание правила фактически возвращает нас в русло более или менее привычной математики. А может ли быть такая математика, в которой нет и быть не может такого правила? И опять-таки, я не имею в виду такую математику, в которой правило отсутствует в силу самой вероятностности процесса, который и описывается этой математикой.
Ну например, определим знак «+» как бросание кубика, а число «2» — как цифра, которой бросаемый кубик лежит на ладони. Тогда операция 2+2 будет означать, что мы кладем два кубика двойками на ладонь и кидаем их. Результат такой операции будет совершенно случайным, но мы понимаем, что именно физическая специфика этого процесса приводит к этой неопределенности. То есть это свойство не есть внутреннее свойство самой математической реальности.
Я предлагаю рассмотреть такую математическую операцию, которую мы будем привычно называть «сложением», и которая именно аксиоматически будет давать разные результаты, причем не существует никакого правила, по которому этот результат может возникать. Может быть, такая математика попросту не сможет существовать? Может и так. И тогда можно задуматься – а существует ли такое правило, введя которое мы сможем придать такой математике смысл?
А что это вообще такое – «смысл математики» вне утилитарного аспекта, который нам сейчас неинтересен? Возможно, мы не сможем никаким образом применить такую математику, ну и что?
Во-первых, мы никогда не можем быть уверены в том, что такой способ никогда не найдется, ведь нас впереди ожидает постижение совершенно безумного мира теории струн, где десятки измерений, да еще и свернутых, где пространство предстает перед нами в виде многообразия Калаби-Яу (тоже, кстати, когда-то бывшими совершенно абстрактной областью математики), и кто знает – какие еще безумные математические конструкции найдут свое применение.
А во-вторых, математика на самом деле вовсе не нуждается в том, чтобы быть предметной. Она самодостаточна. Она имеет право на существование лишь потому, что существует.
Итак, допустим, что результат сложения 2+5 может принимать любое значение из ряда целых чисел (от минус до плюс бесконечности). Можем ли мы теперь наложить на этот хаотичный бульон какое-то правило, которое пусть еще и не сделает из всего этого математику (хотя бы потому, что мы пока что и не знаем на самом деле – что в точности под этим иметь в виду), но придаст этому бульону какие-то определенные характеристики?
Для начала возьмем что-то очень простое. Например, рассмотрим только положительные числа и установим для них, что результат каждого последующего сложения заданной пары чисел (например 2+5) должен быть больше предыдущего. Таким образом мы получаем довольно странную математику… хотя нет, мы пока не можем назвать вот это «математикой», и я даже не буду сейчас приводить какое-нибудь определение математики и погружаться в определение того, что такое структура, что такое отношение и т.д. Бог с ними. Мы проводим пока что некую игру с числами, так скажем. Пусть то, что получается в результате создания тех или иных правил, будет называться «математической тканью».
В нашей математической ткани каждое последующее сложение двух одинаковых чисел будет давать результат, который никогда не был раньше. И этот результат никогда больше не повторится, и он всегда будет больше предыдущего.
А теперь возьмем паузу и задумаемся над таким вопросом – можем ли мы придумать какую-то такую физическую реальность, которой могла бы в принципе соответствовать такая математическая ткань? Может быть и можем. Например, физики давно задумываются над тем – являются ли в самом деле константами мировые константы? И допустим, что каким-то образом мы смогли узнать, что скорость света не является постоянной величиной – мы только думаем, что она постоянная, но на каких-то грандиозных масштабах пространства или времени она меняется. Или она меняется по мере приближения к черным дырам. И допустим, что она растет по мере приближения к горизонту событий черной дыры. И не получится ли так, что вместо того, чтобы совершать подвиги и создавать многоэтажные формулы на базе старой математики, нам надо будет всего лишь взять вот эту нашу математическую ткань, набросить на нее еще те или иные правила и использовать в готовом виде то, что математики нафантазировали? Может и получится. Во всяком случае, если такие ситуации уже были раньше (см. примеры с пространством Лобачевского или Римана), то почему бы им не случаться и в будущем?
А если прикладного применения не найдется, то для математика это на самом деле критического значения не имеет. Для него важен сам процесс формирования математической ткани, сам процесс попыток создания из нее чего-то большего, а также сам процесс попытки выхода за пределы известных правил. И для него важно то удовольствие, которое он при этом получает, та насыщенность жизни, которая в нем возникает тогда, когда он занят любимым делом.
И вот это и есть «заниматься математикой». Нас всех учат, что «заниматься математикой» — это решать уравнения, умножать и делить, считать интегралы и, в общем, совершать разные вычисления. Свести математику к вычислениям – примерно то же самое, что свести секс к продолжению рода в соответствии с некими евгеническими правилами, то есть – в припадке утилитаризма выхолостить, умертвить, обезличить и механизировать нечто живое. Неудивительно, что к математике у бесконечно подавляющего большинства людей складывается отношение как к чему-то бесконечно скучному, а то и отвратительному.
То, чем ты занималась, читая эту статью, может быть и не назовут «математикой». Может быть скажут, что это даже и не имеет отношения к математике, но мне это неважно. Важно то, что, следуя за моей мыслью, ты оторвалась от совершенно мертвенного представления о математике как о приемах вычисления. Ты испытывала моментами изумление, а иногда – смех. Местами задумывалась, пытаясь вместить в свою голову то, что никаким образом не совмещается с уже имеющимися представлениями, а порой тебе в голову приходили какие-то необычные идеи, от которых ты откидывалась на спинку стула и вперивалась взглядом в пространство перед собой, пугая свою кошку.
И это и есть состояние математического творчества, и уловить дух этого состояния – возможно и есть самое главное, чему стоит учить детей на уроках математики в школе, потому что если они впитают в себя этот революционный дух смелого полета мысли, то обогатятся как личности, и если вдруг им когда-либо станет интересна математика или физика или генетика или любая другая наука, то они не будут изучать ее как мертвую схему, а будут оплодотворять ее безумными идеями, попутно испытывая наслаждение от самого этого процесса.
Убить в детях интерес к наукам довольно сложно, но обычно школа успешно справляется с этим за десять лет. Родить же в детях интерес к наукам – на самом деле очень просто. Порой бывает достаточно одной книги, одной статьи, одного увлеченного наукой человека, находящегося рядом. К сожалению, чаще всего рядом с ребенком не оказывается ни того, ни другого, ни третьего.
P.S. Мне кажется, что эта статья вполне могла бы стать отличным дополнением к замечательной книге Эдуарда Френкеля «Любовь и математика», а что он подумал бы на этот счет, я, видимо, не узнаю никогда:)